Составители:
Рубрика:
12
положим
1
2
aa
ε
′
<−
. Найдутся номера
()
1
N
ε
и
()
2
N
ε
такие, что при
()
1
nN
ε
≥
будет
n
xa
ε
−<
, а при
()
2
nN
ε
≥
будет
n
xa
ε
′
−<
. Поэтому при
п большем, чем
()
1
N
ε
и
()
2
N
ε
, точка должна попадать в
ε
- окрестность
числа а и в
ε
- окрестность числа
a
′
, что невозможно, т.к. эти окрестности не
имеют общих точек.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть последовательность
n
x
сходится к пределу а.
Рассмотрим какую-либо
ε
-окрестность точки а. Все числа
n
x
, начиная с
некоторого номера
()
N
ε
, попадают в нее, т.е.
axa
εε
−<<+
при
()
nN
ε
≥
.
Поэтому любой член
n
x
последовательности не превосходит наибольшего из
чисел
(
)
12
1
,,, , .
N
xx x a
ε
ε
−
+
…
Значит, последовательность
n
x
ограничена свер-
ху. Аналогично доказывается ее ограниченность снизу.
Обратная теорема не имеет места, т.е. существуют ограниченные, но рас-
ходящиеся последовательности, например,
()
1
n
n
x =−
. Таким образом, класс
сходящихся числовых последовательностей составляет лишь часть класса ог-
раниченных последовательностей. Иными словами, последовательность может
расходиться либо потому, что она неограничена, либо потому, что, хоть она и
ограничена, но колебания значений
n
x
не уменьшаются до нуля с ростом номе-
ра п.
ПРИМЕР 11. Стационарная последовательность
n
xaconst==
очевид-
ным образом сходится, и
lim
п
аа
→∞
=
.
ПРИМЕР 12. Арифметическая прогрессия при
0
d
≠
расходится, т.к.
она неограничена.
ПРИМЕР 13. Геометрическая прогрессия
1n
n
xaq
−
=
()
0
a
≠
расхо-
дится, если
1
q
>
, т.к. в этом случае она неограничена.
При
1
q
=−
она также расходится, хотя и ограничена.
При
1
q
=
это стационарная последовательность
n
xa=
, поэтому она схо-
дится к пределу а.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
