Составители:
Рубрика:
14
последовательности. Чтобы пользоваться им, надо иметь число а – "претенден-
та" на звание предела. Тогда мы можем рассмотреть неравенство
n
xa
ε
−<
и
попытаться решить его относительно неизвестного п. Если удается показать,
что при любом
ε
>
0 ему удовлетворяют все п, начиная с некоторого N (
ε
), то
lim
n
п
ax
→∞
=
. Если окажется, что хотя бы при одном
ε
>
0 это не так, то а не яв-
ляется пределом
n
x
.
А что делать, если "претендент" не виден? Как, не зная его, решить по-
ставленный нами вопрос? На этот счет имеются различные рецепты. Они назы-
ваются признаками сходимости (или расходимости). Самые важные и прак-
тичные из них мы ниже рассмотрим. Впрочем, один такой признак мы уже зна-
ем – это теорема 2. Если удастся установить неограниченность последователь-
ности, то она, в силу этой теоремы, наверняка расходится.
Теорема 3 (о связи операции перехода к пределу числовой последова-
тельности с арифметическими операциями).
Рассмотрим числовые последовательности
n
x
и
n
y
. Если существуют
пределы
lim
n
п
x
→∞
и
lim
n
п
y
→∞
, то:
а) Существует предел последовательности
n
x
+
n
y
(суммы данных
последовательностей), причем
()
lim lim lim
nn n n
п nn
x
y
x
y
→∞ →∞ →∞
+= +
(8)
б) Существует предел последовательности
n
x
⋅
n
y
(произведения данных
последовательностей), причем
()
lim lim lim
nn n n
п nn
x
y
x
y
→∞ →∞ →∞
⋅= ⋅
(9)
в) Если, к тому же,
lim 0
n
п
y
→∞
≠
, то, начиная с некоторого номера, опре-
делена последовательность
п
п
х
у
(отношение данных последовательностей).
Она сходится, причем
lim
lim
lim
n
nn
п
nn
n
x
x
yy
→∞
→∞
→∞
=
(10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
