Составители:
Рубрика:
15
Доказательство. Введем обозначения
lim
n
п
xx
→∞
=
и
lim
n
п
yy
→∞
=
и за-
фиксируем число
ε
>
0 .
а) Оценим разность
()()
nn
x
y
x
y
+−+
. Имеем
()()()()
nn n n n n
x
y
x
y
xx
yy
xx
yy
+−+=−+−≤−+−
.
Найдутся номера N (
ε
) и N
′
(
ε
) такие, что
()
2
n
nN x x
ε
ε
≥⇒−<
;
()
2
n
nN y y
ε
ε
′
≥⇒−<
. Поэтому при
{}
max ( ), ( )
nNN
εε
′
≥
получим
()()
22
nn
xy xy
εε
ε
+−+<+=
, что и требуется.
б) Оценим разность
nn
x
y
x
y
−
. Имеем
()()
nn n n n n n n
x
y
x
y
x
yyy
xx x
yyy
xx
−= −+ −≤ −+ −
.
Поскольку сходящаяся последовательность
n
x
ограничена, найдется чис-
ло М > 0 такое, что
,
n
xMn
<∀
. Найдется число
0
M
′
>
такое, что
y
M
′
<
.
Поэтому
nn n n
x
y
x
y
M
yy
Mx x
′
−< −+ −
. Подберем номера
0
n
и
0
n
′
так, чтобы
0
2
n
nn y y
M
ε
≥⇒ −<
;
0
2
n
nn x x
M
ε
′
≥⇒−<
′
. Тогда при
{}
00
max ,
nnn
′
≥
получим
22
nn
xy xy M M
MM
εε
ε
′
−< + =
′
, что и требу-
ется.
в) Поскольку у
≠
0, окрестность точки у, имеющая радиус
2
y
, не содер-
жит нуля, но содержит все
n
y
, начиная с некоторого номера
0
n
(см. рис. 5).
Рис. 5. К доказательству теоремы 3.
Итак,
{}
0
1
0,
2
nn
nn
yyy
≥⇒ ≠ >
. Оценим теперь разность
11
n
yy
−
.
Имеем при
0
nn≥
:
0
y
y /2
y /2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
