Составители:
Рубрика:
13
Наконец, при
1
q
<
геометрическая прогрессия сходится к 0.
В самом деле,
1
11
0
n
nn
aq aq a q
−
−−
−= =
, и надо выяснить, может ли
это число стать меньше любого
ε
>
0 с ростом номера п. Следовательно, надо
рассмотреть неравенство
1n
aq
ε
−
<
относительно неизвестного п при задан-
ных а,
|
q
|
<1 и
ε
. Оно эквивалентно неравенству
1
1
n
a
q
ε
−
>
. (7)
Действуя, как в примере 7, замечаем, что
1
1
1( 1)
n
n
q
α
−
>+ −
с положитель-
ным
α
. Очевидно, если будет
1( 1)
a
n
α
ε
+− >
, то выполнится и (7). Значит,
при
1
11
a
n
εα
>+ −
получим
1
0
n
aq
−
−
, что и требовалось.
Выводы:
1
lim 0 при 1
n
п
аqq
−
→∞
=<
,
1
lim при 1
n
п
аqa q
−
→∞
==
.
В остальных случаях геометрическая прогрессия расходится.
ПРИМЕР 14. Вернемся к приближенным значениям числа
π
(пример 4).
По самой идее построения этих значений (заключение точки
π
числовой оси в
интервалы длиной
2
11 1
1, , , ..., , ...
10
10 10
n
) ясно, что разность между
π
и его
приближениями делается, с ростом номера приближения, меньше любого чис-
ла. Это значит, что
π
есть предел последовательности своих десятичных при-
ближений. Очевидно, это верно не только для
π
, но и для любого другого чис-
ла.
Закончив с серией примеров, поставим следующий вопрос: пусть дана
последовательность
n
x
. Как узнать, сходится ли она, и если да, то каков ее пре-
дел. Пока для этого у нас есть один инструмент – само определение сходимости
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
