Составители:
Рубрика:
16
2
2
11
nn
n
nnn
yy yy
yy
yy yy yy
y
−−
−
−= = <
.
Начиная с некоторого номера
0
n
′
можем написать
2
2
n
y
yy
ε
−<
. Поэтому
при
{}
00
max ,
nnn
′
≥
получаем
2
2
11 2
2
n
y
yy
y
ε
ε
−< ⋅ =
. Таким образом,
11
lim
п
n
yy
→∞
=
. По доказанному в пункте б) имеем:
11
lim lim ( ) lim lim
n
nn
п nnn
nn n
x
x
xx
yy yy
→∞ →∞ →∞ →∞
∃=⋅=⋅=
.
Этим доказательство теоремы завершается.
Заметим, что эта теорема не только дает достаточные условия для сходи-
мости некоторых последовательностей (сумм, произведений и отношений схо-
дящихся последовательностей), но и формулы для вычисления их пределов.
Следствие. Если
и при
nn
xxyy n→→ →∞
, а
α
и
β
- два числа,
то
при
nn
xy xy n
αβ αβ
+→+ →∞
. Это свойство называется линейным
свойством сходящихся последовательностей.
В частности,
nn
xy xy−→−
, если
и
nn
xxyy→→
.
ПРИМЕР 15.
22
12 1 1 1 1 1
lim lim 2 lim 1 2 0
33 33
nnn
nn
nn
nn
→∞ →∞ →∞
++
−= − =⋅−⋅=
(см. примеры 9,10).
ПРИМЕР 16.
2
2
1
1
lim 3
3
3
lim
1
4
1
4
lim 4
n
n
n
n
n
n
n
→∞
→∞
→∞
−
−
==
+
+
.
ПРИМЕР 17. Вычислить
2
lim
21
n
n
n
→∞
−
.
Здесь нельзя непосредственно применить теорему о пределе отношения,
т.к. и числитель, и знаменатель предела не имеют, они неограничены. В таких
случаях говорят, что асимптотика последовательности представляет собой
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
