Составители:
Рубрика:
18
Доказательство. Рассмотрим первое утверждение. Если предполо-
жить, что
x
y
>
, то (см. рис.6) взяв окрестности точек х, у с радиусами, мень-
шими
1
()
2
x
y
−
, получим, что
nn
yx<
при больших п. Это противоречит усло-
вию. Доказательство второго утверждения очевидно из рис.7.
Рис.6. Рис.7.
К доказательству теоремы 4.
Теорема 5 (признак Вейерштрасса существования предела последова-
тельности). Если числовая последовательность
n
x
ограничена сверху, и ее
члены не убывают (
1nn
xx
+
≥
), начиная с некоторого номера, то она сходится.
Мы не будем приводить строгого доказательства этой теоремы. Сошлем-
ся на ее интуитивную очевидность (если точки
n
x
с ростом номера п могут
двигаться только в одну сторону по оси х, причем их суммарный сдвиг ограни-
чен, то они вынуждены вплотную подойти к некоторой фиксированной точке).
Заметим только, что заключение теоремы, очевидно, остается в силе, если
последовательность
n
x
ограничена снизу, и ее члены не возрастают (
1nn
xx
+
≤
).
ПРИМЕР 20. Рассмотрим последовательность
1
lim 1 ( 1, 2,3,...)
n
n
п
xn
n
→∞
=+ =
(11)
и докажем, что она сходится, используя признак Вейерштрасса. Теорему о пре-
деле произведения здесь применить нельзя, поскольку число сомножителей не
постоянно, а зависит от п. Получается "неопределенность вида
1
∞
".
С помощью бинома Ньютона запишем
2
1 ( 1) 1 ( 1)...( 1) 1
1...
2! !
n
k
nn nn n k
xn
nk
nn
−−−+
=+⋅ + ⋅ + + ⋅ + +…
(1)...211
!
n
nn
n
n
−⋅⋅⋅
+⋅=
11 1 11
1......
2! !
nnn nn nk
nn n n n n k
−−−+
++⋅⋅++⋅⋅⋅ ⋅++…
y x
y
n
x
n
x
n
y
n
x
y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
