Составители:
Рубрика:
19
1(1)1
...
!
nn n n
nn n n
−−−
+⋅ ⋅⋅ ⋅ =
11 1 2 11
11 1 ... 1 1 ... 1
2! !
k
nnnnk
−
=++− ⋅++− ⋅− ⋅⋅− ⋅++
…
12 11
1 1 ... 1
!
n
nn nn
−
+− ⋅− ⋅⋅− ⋅
.
Если заменить в этих формулах п на п + 1, то в получающейся сумме каждое
выражение в скобках будет больше соответствующего выражения для
n
x
.
Кроме того, в сумме будет на одно слагаемое больше. Поэтому
1nn
xx
+
≥
.
Осталось доказать ограниченность последовательности
n
x
. Продолжая
выкладку, имеем
111
2 ... ...
2! ! !
n
x
kn
<+ ++ ++
.
Но для любого п справедлива оценка
11 1
! 1 2 3 ... 2 2 ... 2
nn
=<
⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
, где в знаме-
нателе имеются п – 1 одинаковых множителей. Таким образом, суммируя гео-
метрическую прогрессию, находим
1
21
1
1
11 1 1
2
2...2 3
1
22
22
1
2
n
n
n
x
−
−
−
<++ ++ =+⋅ <
−
.
Итак, последовательность
n
x
не убывает и ограничена сверху. Поэтому она
сходится. Ее предел обычно обозначают буквой е :
1
lim 1
n
п
e
n
→∞
+=
(12)
Можно показать, что число е иррационально. Из наших выкладок видно,
что 2 < e < 3. Расчеты показывают, что
e
= 2,718281828459045…
В математике регулярно применяются логарифмы по основанию е. Они
называются натуральными логарифмами. Применяется специальный символ
ln log
e
xx=
. (13)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
