Составители:
Рубрика:
20
Еще один признак сходимости последовательности:
Теорема 6 (о двух милиционерах). Если
lim lim
nn
п n
xza
→∞ →∞
==
и для всех
номеров n, начиная с некоторого,
nnn
xyz≤≤
, то
lim
n
п
y
a
→∞
∃=
.
Доказательство. Зафиксируем
ε
>
0. Начиная с некоторого номера
имеем
n
xa
ε
−<
,
n
za
ε
−<
и
nnn
xayaza
εε
−< −≤ −≤ −<
, т.е.
n
ya
ε
−<
, что и требуется.
Среди всех сходящихся числовых последовательностей особой популяр-
ностью в теоретических рассуждениях и практических выкладках пользуются
бесконечно малые последовательности, т.е. последовательности, сходя-
щиеся к нулю. Причина этого объясняется следующим утверждением.
Теорема 7.
lim
nnn
п
xx xx
α
→∞
=⇔ =+
, где последовательность
α
п
беско-
нечно мала.
Доказательство. Чтобы убедиться в эквивалентности двух соотноше-
ний, фигурирующих в формулировке теоремы, достаточно записать на
ε
-языке,
что они означают. А они означают, что начиная с некоторого номера для любо-
го
ε
>
0 выполняются соответственно неравенства
n
xx
ε
−<
и
()0
n
xx
ε
−−<
.
Ясно, что эти неравенства совпадают.
Теорему можно высказать иначе: члены сходящейся последовательности
отличаются от её предела на бесконечно малую.
Можно также сказать: член сходящейся последовательности
n
x
можно
приближенно заменить пределом этой последовательности; абсолютная
ошибка такого приближения бесконечно мала при п
→
∞
.
ПРИМЕР 21. Последовательности
()
2
1
11
; ; при 1; 1 ; 0
n
n
n
n
qq ex
nn
n
−
<+− =
бесконечно малы. Убедитесь в этом.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
