Составители:
Рубрика:
155
Скалярным произведением геометрических векторов
и
x
y
называется
число, обозначаемое
()
,
x
y
, или
x
y
⋅
, или
x
y
и определяемое формулой
()
()
, cos ,
x
y
x
y
x
y
=⋅⋅
(1)
Отметим сразу, что, умея вычислять скалярные произведения векторов,
мы фактически умеем вычислять и длины векторов и углы между ними (по-
следние – по абсолютной величине), ибо из (1) при yx
=
получается равенство
()
2
,
xx x
=
, а затем и соотношения
()
,,xxx
=
()
()
()
()
,
cos ,
,,
xy
xy
xx
yy
=
⋅
. (2)
Имеют место следующие основные свойства скалярного произведения:
1. Для любого вектора
x
:
()
,0
xx
≥
; причём
()
,0
xx
=
только при
0
x
=
(положительная определённость скалярного произведения).
2. Для любой пары векторов
и
x
y
:
()()
,,
x
yy
x
=
(коммутативность
скалярного умножения).
3. Для любых трёх векторов
,,
x
y
z
и любых двух чисел
,
αβ
:
()()()
,,,;
x
y
zxz
y
z
αβ α β
+= +
()()()
,,,
x
y
zx
y
xz
αβ α β
+= +
(линейность скалярного умножения по первому и по второму множителю).
Доказательство. Первые два свойства непосредственно очевидны из
определения.
Для обоснования третьего заметим сначала, что при
0
z
=
оно также оче-
видно. Если же 0z
≠
, то введём в
3
V
декартов базис
,,
i
j
k
так, чтобы еди-
ничный вектор
k
был направлен так же, как и вектор
z
(рис. 1). Разлагая лю-
бой вектор
3
lV
∈
по такому базису, получим
12 3
llil
j
lk
=+ +
. С другой
стороны, по определению скалярного произведения,
()
3
,cos
lz lz zl
α
==
.
Следовательно
()()
()
()()
() ()
,
33
3
,,.
33
xyzzxy zx y
zx zy l x l y
αβ αβ α β
αβαβ
+=+= +=
=+ =+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- …
- следующая ›
- последняя »
