Составители:
Рубрика:
157
Решение. (а)
2
2
39
aa a a a
⋅= ⋅ = = =
.
(б)
()()
32 2 3 2 3222
abab aabaabbb
− + =⋅−⋅+⋅−⋅=
()
()
2
2
22
32 6 4 634cos,44
10 4 3 7 1/ 2 52.
aababb abab
= − ⋅+ ⋅− =⋅ + −⋅ =
=− + ⋅ ⋅ ⋅ − =−
Поставим вопрос: как вычислить скалярное произведение векторов
x
и
y
,
заданных своим координатами в некотором базисе
,,
123
ee e
?
С помощью основных свойств скалярного произведения этот вопрос ре-
шается следующим образом. Пусть
11 2 2 33
xxe xe xe
=+ +
,
11 2 2 33
yy
e
y
e
y
e
=+ +
.
Перемножим правые части этих равенств, раскрывая скобки с помощью
свойства линейности, соберём подобные члены при каждом произведении ба-
зисных векторов, воспользовавшись в случае необходимости свойством комму-
тативности, и получим:
()
()
()
111 1 12 21 1 2 13 31 1 3
.
222 2 23 32 2 3 333 3
x
y
x
y
ee x
y
x
y
ee x
y
x
y
ee
xye e xy xy e e xye e
⋅= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +
+⋅++ ⋅+⋅
(4)
Становится ясно, что для вычисления требуемого скалярного произведе-
ния недостаточно одних координат перемножаемых векторов. Надо знать ещё и
скалярные произведения всех пар базисных векторов.
Однако в важном частном случае декартова базиса эта трудность ис-
чезает. При этом произведение базисного вектора самого на себя равно едини-
це, а произведения различных базисных векторов равны нулю. Формула (4)
принимает весьма простой вид
11 2 2 33
x
y
x
y
x
y
x
y
⋅= + +
(5)
Полагая в этой формуле
y
равным последовательно каждому из векто-
ров декартова базиса, получим следующие выражения координат вектора как
его скалярные произведения на базисные векторы:
,,
112 23 3
xxe x xe x xe
=⋅ =⋅ =⋅
. (6)
Из формулы (5) немедленно вытекает выражение длины вектора через
его координаты в декартовом базисе:
222
123
xxxx
=++
. (7)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- …
- следующая ›
- последняя »
