Составители:
Рубрика:
159
Очевидно, что для всех точек M плоскости, и только для них, верно соотноше-
ние
rn D
⋅=
, (11)
где
rOM
=
, Dconst
=
для данной плоскости.
Уравнение (11) и есть общее уравнение плоскости, записанное в век-
торной форме.
Если теперь ввести декартовы координаты ,,xyz точки M и ,,ABC
−
вектора n
, то можно переписать (11) в скалярной форме
Ax By Cz D
++=
. (12)
Это хорошо знакомое нам общее уравнение плоскости в скалярной форме ((3)
из 4.6), которое было получено в произвольной аффинной системе координат.
Однако, теперь мы знаем, что, в случае декартовых координат, коэффициенты
,,ABC этого уравнения являются координатами некоторого вектора, перпен-
дикулярного плоскости
Π
и направленного от начала координат в сторону
этой плоскости.
Заметим, что если плоскость
Π
проходит через начало координат, на-
правление “от начала координат к плоскости ” не определено. Поэтому вектор
n
может иметь любое из двух перпендикулярных плоскости направлений.
Используем новую информацию для решения некоторых задач.
ПРИМЕР 2. Написать в декартовых координатах общее уравнение плос-
кости, проходящей через точку М (1, 0,
−
2) и перпендикулярной вектору
{
−
2,
−
2,
−
1}.
Решение. Координаты данного вектора можно взять в качестве коэффи-
циентов ,,ABC искомого уравнения, которое, следовательно, имеет вид
22xyzC
−− −=
. Константу С находим из условия принадлежности точки ис-
комой плоскости, которое приводит к равенству
()
21 20 1 2 C
−⋅− ⋅−⋅− =
или
0C
=
. Окончательно: плоскость имеет уравнение 22 0xyz
++=
.
ПРИМЕР 3. Найти угол между плоскостями 227xyz
+−=
и 35xy
+=
.
Решение. Ясно, что угол
α
между данными плоскостями равен углу ме-
жду векторами
{}
1, 2, 2
−
и
{}
1,1, 0 , которые, соответственно, перпендикулярны
этим плоскостям. Поэтому
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- …
- следующая ›
- последняя »
