Составители:
Рубрика:
213
Рассмотренные примеры показывают, что линейный оператор может во-
все не иметь собственных чисел, иметь одно собственное число, несколько или
даже бесконечное количество собственных чисел.
Теорема 2. Пусть
12
, ,...,
m
λλ λ
– попарно различные собственные числа ли-
нейного оператора A: F → F. Выберем для каждого из них по одному собст-
венному вектору
(1) (2) ( )
, ,...,
m
xx x
соответственно. Эта система векторов ли-
нейно независима.
Идея доказательства: Для m = 1 теорема очевидна, ибо всякий собст-
венный вектор отличен от нуля. Пусть m = 2. Допустим, что векторы
(1) (2)
,
xx
линейно зависимы, т.е. найдутся числа α, β, из которых хотя бы одно не равно
нулю и такие, что
(1) (2)
0
xx
αβ
+=
(2)
Пусть, например,
0
α
≠
. Применив к (2) оператор А, получим
(1) (2)
0
Ax Ax
αβ
+=
или
(1) (2)
12
0
xx
αλ βλ
+=
(3)
Теперь умножим (2) на λ
2
и вычтем результат из (3). Получим
()
(1)
12
0
x
αλ λ
−=
, откуда либо λ
1
= λ
2
= 0, что противоречит условию теоремы
(собственные числа различны), либо α = 0, что противоречит нашему допуще-
нию. Итак, векторы
(1) (2)
,
xx
линейно независимы.
Пользуясь этим фактом, можно по индукции вывести из него доказатель-
ство для m = 3 и т.д.
Теоретические вопросы к главе 6.
1. Дать определение линейного оператора.
2. Какой оператор называется тождественным?
3. Обладает ли операция сложения операторов свойством коммутативности?
4. Обладает ли операция умножения операторов свойством коммутативности?
5. Как определяется матрица линейного оператора?
6. Какую матрицу имеет оператор поворота вектора в положительном направ-
лении на угол
ϕ
в правом декартовом базисе?
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- …
- следующая ›
- последняя »
