Математика в нефтегазовом образовании: Выпуск 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Харин В.Т - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

212
ляется собственным для собственного числа
λ.
Действительно,
Ax = 0(x) = 0·x
.
ПРИМЕР 2. Для единичного оператора I любой вектор
0
x ≠
есть собст-
венный вектор для
λ = 1.
Действительно,
Ax = I(x) = 1·x
= x.
ПРИМЕР 3. Рассмотрим оператор подобия Ax = αx, где
0
α
≠
– фиксиро-
ванное число. Отыскивая его собственные числа
λ
из условия (1), приходим к
равенству αx = λx или (α – λ)x = 0. Ясно, что число λ = α представляет единст-
венное собственное значение. Собственное подпространство совпадает с обла-
стью определения оператора А.
ПРИМЕР 4. Рассмотрим оператор P: V
3
→ V
2
проектирования геометри-
ческих векторов на плоскость П параллельно прямой L (см. пример 5 из раздела
6.1). Чтобы найти его собственные векторы и значения, воспользуемся соотно-
шением (1), которое даёт
Px x
λ
=
GG
. Левая часть этого равенства – это вектор,
лежащий в плоскости П. Значит, то же можно сказать и о правой части. Поэто-
му применение к правой части оператора Р не меняет её, и можно записать
Px Px
λ
=
GG
или
()
10
x
λ
−=
G
. Возможны два варианта:
1)
1
λ
≠
, значит
0
Px =
G
, т.е. вектор
x
G
лежит на прямой L;
2) λ = 1, значит
Px x=
GG
, т.е. вектор
x
G
лежит на плоскости П.
Итак, любое действительное число λ является собственным для оператора
Р. Если
1
λ
≠
, то соответствующим собственным подпространством является
множество векторов прямой L. Если λ = 1, то собственным подпространством
является множество векторов плоскости П.
К этому же выводу можно придти и без аналитических записей, пользу-
ясь геометрическим толкованием определения и рассматривая рис. 2 из раздела
6.1.
ПРИМЕР 5. Рассмотрим оператор поворота векторов плоскости на фик-
сированный угол
2
k
απ
≠
(k–целое) в этой плоскости. Ясно, что этот оператор
не имеет собственных чисел.

Страницы