Составители:
Рубрика:
64
Глава 2. Производные и дифференциалы
2.1. Исходные понятия
Мы приступаем к изучению раздела математики, называемого диффе-
ренциальным исчислением. В нём продолжается исследование свойств функ-
ций, заданных на сплошных множествах (интервалах), с помощью понятия
предела функции. Но если в предыдущей главе такое исследование было дове-
дено лишь до выяснения свойств непрерывных функций, то дифференциальное
исчисление продвигает его намного дальше.
Свойство непрерывности говорит о том, что функция мало отклоняется от
своего значения в точке х
0
при малом отклонении
x
∆
аргумента от х
0
.
Поэтому
в окрестности точки х
0
непрерывную функцию можно приближённо заменить
константой – её значением в х
0
, при этом абсолютная ошибка приближения
стремится к нулю при
0
x
∆→
. Однако, такая аппроксимация никак не отража-
ет того, как меняется функция при переходе независимой переменной х через
точку х
0
: быстро или медленно, возрастая или убывая. Дифференциальное же
исчисление задаёт себе, в первую очередь, именно эти вопросы. Чтобы ответить
на них, формулируются понятия производной и дифференциала функции в точ-
ке х
0
, с помощью которых удается построить более точную аппроксимацию
функции в окрестности х
0
, а именно аппроксимацию не константой, а линейной
функцией. Такая аппроксимация отражает не только величину, но и тенденцию
изменения функции в точке х
0
. Значение такого подхода к локальному исследо-
ванию функции связано с тем, что он позволяет ввести строгое понятие скоро-
сти изменения функции в точке. На языке физики это предоставляет, например,
возможность дать строгое определение понятию скорости неравномерного
движения; на языке геометрии – возможность определить касательную к произ-
вольной линии. С такого рода приложениями и было связано бурное развитие
основ дифференциального исчисления во второй половине XVII века – в эпоху
расцвета механики и астрономии.
Дифференциальное исчисление было создано одновременно и независимо
друг от друга Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Вильгельмом
Лейбницем (1646–1716). Конечно, они опирались на догадки и частные резуль-
таты своих предшественников. Надо отметить, что, как это часто бывает с пер-
вооткрывателями, изложение основ дифференциального исчисления Ньютоном
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
