Составители:
Рубрика:
65
и Лейбницем было весьма громоздким, их многочисленные результаты далеко
не всегда были строго обоснованы. Понадобилась кропотливая работа их уче-
ников и последователей для того, чтобы дифференциальное исчисление приоб-
рело тот совершенный вид, который присущ ему сейчас. Этапными в этом на-
правлении были работы Огюстена Коши (1789–1857) и уже знакомого нам Кар-
ла Вейершрасса (1815–1897).
Переходим к систематическому изложению основ дифференциального
исчисления. Пусть функция
()
yf
x
=
задана на интервале I оси
R
и имеет дей-
ствительные значения. Зафиксируем внутреннюю точку
0
xI∈
и рассмотрим
ещё какую-либо точку
xI
∈
. Разность
0
xxx∆= −
назовём приращением неза-
висимой переменной в точке х
0
, разность
() ( )
0
yf
x
f
x
∆= −
– соответствую-
щим приращением функции.
Отношение
() ( )
0
0
f
x
f
x
y
xxx
−
∆
=
∆−
(1)
называется разностным отношением функции
()
f
x
для точек х
0
, х.
Предел разностного отношения (1) при
0
xx→
, т.е. число
() ()
() ( )
0
0
00
0
lim
xx
f
x
f
x
fx yx
xx
→
−
′′
==
−
(2)
называется производной функции
()
f
x
в точке х
0
.
Равенство (2) эквивалентно соотношению
() ( )
() ()
0
00
0
1,
fx fx
f
xo xx
xx
−
′
=+ →
−
,
а, значит, и соотношению
() () ()( ) ( )
000 0 0
,
f
x
f
x
f
xxx oxx x x
′
−= −+− →
(3)
Это последнее утверждение означает, что приращение функции разбивается на
два слагаемых: первое есть величина, пропорциональная приращению х – х
0
не-
зависимого переменного с коэффициентом пропорциональности, не меняю-
щимся при изменении х; второе бесконечно мало по сравнению с х – х
0
при
0
xx→
(рис. 1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
