Составители:
Рубрика:
66
y
df (x)
f (x)
f (x
o
)
y = f (x)
o (
∆
x)
∆
x
x
x
M
o
x
o
M
Функция, для которой разложение (3) возможно, называется дифферен-
цируемой в точке
х
0
( от лат. differentiare – разделять на две части).
Итак, существование производной в точке эквивалентно дифференци-
руемости этой функции в той же точке.
Слагаемое
()( )
00
f
xxx
′
−
в (3) называется дифференциалом функции f в
точке х
0
, соответствующим приращению х – х
0
независимой переменной.
Дифференциал имеет специальные обозначения:
() () ()( )
0000
d
f
xd
y
x
f
xxx
′
== −
(4)
Рис.1. Геометрический смысл производной и
дифференциала.
Теорема 1 (о непрерывности дифференцируемой функции).
Дифференцируемая в точке
х
0
функция
f(х)
непрерывна в этой точке.
Доказательство немедленно вытекает из формулы (3): она показывает,
что
() ( )
0
f
x
f
x
→
при
0
xx→
.
Обратная теорема не верна, что хорошо видно на примере функции
y
x
=
при x
→
0.
Таким образом, дифференцируемость есть более жёсткое ограничение на
функцию, чем непрерывность. Зато, если непрерывную в х
0
функцию можно
аппроксимировать в окрестности х
0
константой с точностью всего лишь
о
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
