Составители:
Рубрика:
67
x
y
при
0
xx→
(с абсолютной ошибкой, стремящейся к нулю), то дифференцируе-
мую в х
0
функцию можно аппроксимировать линейной функцией со значитель-
но более высокой точностью о(х – х
0
) при
0
xx→
(с относительной ошибкой,
стремящейся к нулю). Эта последняя аппроксимация даёт представление не
только о значениях функции в окрестности точки
0
x
, но и о тенденции её изме-
нения в этой точке.
Осмыслим геометрически наши рассуждения. Разностное отношение (1)
есть тангенс угла наклона секущей М
0
М к оси Ох. Существование предела (2)
означает наличие предельного положения этой секущей при стремлении точ-
ки М на графике функции к фиксированной точке М
0
. Прямая называется ка-
сательной к графику функции f (x) в точке М
0
.
Уравнение касательной есть
() ()( )
000
yf
x
f
xxx
′
=+ −
(5)
Итак, существование производной
()
0
f
x
′
геометрически означает суще-
ствование касательной (5). При этом исключается наличие в точке М
0
графика
функции “угла” или ”острия” (см. рис. 2)
Рис.2. Примеры отсутствия производной в точке
0
x
.
Поэтому функцию, имеющую в точке х
0
производную, часто называют гладкой
в этой точке.
Дифференцируемость функции f (x) в точке х
0
означает возможность за-
менить график функции в районе этой точки касательной к нему с ошибкой
о(х – х
0
) (рис. 1). При этом приращение функции заменяется её дифференциа-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
