Составители:
Рубрика:
68
лом в х
0
.
Понятия производной и дифференциала хорошо интерпретируются на
языке механики. Предположим, что переменная х означает время, а функция
у = f (x) есть закон движения точки по оси Оу. В этом случае разностное соот-
ношение (1) называется средней скоростью движения за интервал времени от
момента х
0
до момента х.
Мгновенной скоростью движения в момент х
0
называется производная
()
0
f
x
′
. Таким образом, существование мгновенной скорости – это существо-
вание производной. Отсутствие
()
0
f
x
′
может, в частности, означать то, что в
момент времени х
0
движение претерпевает мгновенное изменение типа “удара”.
При этом скорость в момент х
0
не определена. Можно говорить лишь о скоро-
стях непосредственно перед ударом и непосредственно после него.
Подчеркнем, что интуитивное физическое представление о мгновенной
скорости находит своё точное выражение только в математическом поня-
тии производной. Это классический пример математического моделирования
реальных явлений.
Замена приращения функции
() ( )
0
f
x
f
x
−
её дифференциалом
()( )
00
f
xxx
′
−
кинематически означает приближенную замену неравномерного
движения у = f (x) равномерным движением
() ()( )
000
yf
x
f
xxx
′
=+ −
с по-
стоянной скоростью
()
0
f
x
′
, совпадающей с мгновенной скоростью исходного
движения в момент х
0
.
Рассмотрим несколько примеров вычисления производных.
ПРИМЕР 1.
()
f
x c const
==
.
При любом
0
x ∈R
имеем
0
00
ycc
xxx
∆−
==→
∆−
при
0
xx→
. Значит,
() ()
00
0, 0
f x df x
′
==
. Другими словами,
() ()
0, 0
const d const
′
==
(6)
ПРИМЕР 2.
()
f
xx
α
=
(
α
∈R
– константа).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
