Составители:
Рубрика:
70
()
cos sin , cos sin
xxdxxx
′
=− =− ∆
. (9)
Аналогично для любых
x
∈R
выводятся формулы
()
sin cos , sin cos
xxdxxx
′
==∆
. (10)
Вернемся к теории. Если в формуле (2) рассматривать предел не при
0
xx→
, а при
0
0
xx→−
(или
0
0
xx→+
), то получится определение левой
(или правой) производной в точке х
0
. Она обозначается символом
()
0
0
fx
′
−
(или
()
0
0
fx
′
+
).
Понятно, что левая производная функции f (x) совпадает с обычной про-
изводной, если х
0
есть наибольшее число из области определения f (x): ведь
при этом стремление
0
xx→
может осуществляться только со стороны x < x
0
.
Аналогичное замечание касается правой производной.
Если же х
0
– внутренняя точка области определения f (x), то производная
()
0
f
x
′
существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между со-
бой обе односторонние производные
()
0
0
fx
′
−
и
()
0
0
fx
′
+
. При этом
()
0
f
x
′
равна общему значению этих односторонних производных.
На языке геометрии существование односторонней производной означает
наличие соответствующей односторонней касательной в данной точке (см.
рис. 2). На языке кинематики
()
0
0
fx
′
−
и
()
0
0
fx
′
+
– это мгновенные скоро-
сти ″до и после удара″ в момент x
0
.
Если функция у = f (x) имеет производную в каждой точке интервала
I ⊂ R
, то говорят, что f (x) дифференцируема на I, или гладкая на I. Произ-
водную
()
f
x
′
можно рассматривать в этом случае как функцию, заданную на
интервале I.
2.2. Основные правила дифференцирования
Из заданных дифференцируемых функций с помощью различных опера-
ций (арифметических, образования сложных функций, перехода к обратным
функциям и т.д.) можно образовывать новые функции. Будут ли функции, по-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
