Составители:
Рубрика:
где q =
√
2+1 = 2.414214..., q
−1
=
√
2−1 = 0.414214... Перемножая
биномиальные ряды типа (5.16) для (1 −qzi)
−1/2
и (1 + q
−1
zi)
−1/2
и приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства (5.65), по-
лучаем
q
n
=
n
X
m=0
(−1)
m
(2n −2m −1)!!(2m −1)!!
(2n −2m)!!(2m)!!
q
n−2m
. (5.66)
Отношение модулей последовательных членов суммы равно
(n − m)(2m + 1)
(2n −2m −1)(m + 1)q
2
<
2
q
2
< 1,
так что сумма (5.66) имеет лейбницевский тип, и ее значение за-
ключено в пределах
(2n −1)!!
(2n)!!
q
n
−
(2n −3)!!
2(2n −2)!!
q
n−2
< q
n
<
(2n −1)!!
(2n)!!
q
n
.
Введем вспомогательную переменную
x
n
=
(2n − 1)!!
(2n)!!
√
πn
и рассмотрим отношение
x
n+1
x
n
2
=
4n
2
+ 4n + 1
4n
2
+ 4n
> 1.
Следовательно, последовательность {x
n
} возрастает и x
n
<
lim
n→∞
x
n
= 1. Последнее равенство — следствие формулы Вал-
лиса (Антонов и др., 1988, формула (4.6.4)). Оценка сверху полу-
чена:
q
n
<
q
n
√
πn
.
Аналогично для переменной
y
n
=
(2n −1)!!
(2n)!!
1 −
n
2n −1
q
−2
p
π(n + 1)
образуем отношение
y
n
y
n−1
2
=
[(2 −c)
2
n
2
−2(2 −c)n + 1](4n
3
−8n
2
−3n + 9)
4n
3
[(2 − c)
2
n
2
−2(2 −c)(3 −c)n + (3 − c)
2
]
,
где c = q
−2
= 3 − 2
√
2 = 0.171573...
59
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
