Составители:
Рубрика:
Разность ξ(n) знаменателя и числителя равна
ξ(n) = (12 −20c + 7c
2
)n
3
−(40 −42c + 9c
2
)n
2
+ (39 − 18c)n − 9.
Если n > 4, то n
3
> 4n
2
,
ξ(n) > (8 − 38c + 19c
2
)n
2
> 0.
При n = 2, 3 имеем ξ(2) = 5 −28c+20c
2
> 0, ξ(3) = 72 −216c +108c
2
> 0. Следовательно, последовательность y
n
убывает и
y
n
> lim
n→∞
y
n
= 1 −
1
2
c =
√
2 −
1
2
= 0.914213 . . .
Окончательно
(1 − c/2)q
n
p
π(n + 1)
< q
n
<
q
n
√
πn
. (5.67)
В качестве иллюстрации составим таблицу.
Величины q
n
и их оценки
n 10 100 200 300 500 1000
q
−
n
1.05 10
3
9.72 10
36
1.31 10
75
2.02 10
113
5.63 10
189
9.73 10
380
q
n
1.09 10
3
9.86 10
36
1.32 10
75
2.05 10
113
5.69 10
189
9.83 10
380
q
+
n
1.20 10
3
1.07 10
37
1.43 10
75
2.22 10
113
6.16 10
189
1.06 10
381
Здесь q
−
n
и q
+
n
— левая и правая части неравенств (5.67).
Таким образом, вычисление P
n
(x) по формуле типа (5.31) может
привести к потере 3 значащих цифр при n = 10; 113 значащих цифр
при n = 300; 381 значащей цифры при n = 1000.
Безусловно, при рациональном x можно свести ошибку к нулю,
пользуясь вычислениями в рациональной арифметике. Покажем,
что того же можно добиться вычислениями в арифметике конеч-
ных s-ичных дробей, если s делится на два — в частности, для
дробей десятичных, двоичных и восьмеричных. Достаточно дока-
зать, что коэффициенты p
nk
многочленов Лежандра представляют
собой целые числа, деленные на степень двойки.
Лемма 1
На множестве N натуральных чисел введем целочисленную функ-
цию α(n) — наибольшее из целых неотрицательных m таких, что
n! делится на 2
m
. Тогда
α(n) = n −β(n), (5.68)
60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
