Составители:
Рубрика:
Теорема 4
Коэффициенты p
nk
многочленов Лежандра имеют вид
p
nk
=
1
2
n−β(k)−β(n−2k)
˜p
nk
, n > 1, (5.71)
где ˜p
nk
— нечетные целые.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем выражение (5.32) в виде
2
n
p
nk
=
2n −2k
n
n
k
.
Поскольку биномиальные коэффициенты — целые числа, p
nk
равно
нечетному числу, деленному на степень двойки. Степень эта равна
n + α(k) + α(n −k) + α(n − 2k) − α(2n −2k),
что по лемме совпадает с
n − β(k) −β(n −k) −β(n −2k) + β(2n −2k),
если условиться, что β(0) = 0. Умножение на 2 не меняет числа
единиц в двоичном представлении числа, так что β(n −k) = β(2n −
2k), что и доказывает формулу (5.71).
При k = 0 показатель степени в знаменателе (5.71) равен n −
β(n). То же при k = n/2 для четных n. При k = (n − 1)/2 для
нечетных n показатель равен
n − β
n − 1
2
− β(1) = n − β(n −1) −β(1) = n −β(n).
Поэтому для крайних коэффициентов
p
nk
=
1
2
n−β(n)
˜p
nk
, k = 0, k = bn/2c. (5.72)
Для остальных k также справедливо представление (5.72) с целыми
(возможно, четными) ˜p
nk
. В самом деле, неравенство β(a + b) 6
β(a) + β(b) очевидно, откуда
β(n) 6 β(2k) + β(n −2k) = β(k) + β(n − 2k). (5.73)
62
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
