Составители:
Рубрика:
Замечание. Вычисление функций P
(m)
n
(x), P
m
n
(x) не вызывает
дополнительной потери точности. Хотя модули коэффициентов
типа p
nk
растут, в той же мере растут и наибольшие значения
P
(m)
n
(x), см. задачу 5.16. Точно так же коэффициенты многочлена
P
(m)
n
(x) остаются конечными двоичными дробями.
Результаты этого параграфа получены авторами и ранее не пуб-
ликовались.
5.2.11 Сходимость ряда для производящей
функции
Определим, наконец, область сходимости ряда (5.11). Считаем x
вещественным параметром из промежутка [−1, 1], z — комплексной
переменной. Особые точки функции слева даются уравнением
z
2
−2zx + 1 = 0,
имеющим два корня
z
1,2
= x ± i
p
1 −x
2
, |z
1,2
| = 1.
На концах x = ±1 оба корня сливаются в один двойной. Таким об-
разом, ряд (5.11) сходится в круге |z| < 1 и расходится при |z| > 1.
Отсюда следует сходимость рядов Лапласа (5.6), (5.9) со скоро-
стью геометрической прогрессии вне объемлющей и внутри пустой
сферы, что гарантирует и законность всех операций, выполненных
при выводе рядов.
Возвратимся в вещественную область: ряд (5.11) сходится при
0 6 z < 1 и расходится при z > 1. Каково его поведение при z = 1?
Если x = ±1, имеет место расходимость, поскольку общий член
P
n
(±1) равен единице по модулю.
Если −1 < x < 1, ряд сходится условно (Владимиров, 2003;
Антонов и др., 1988; Михлин, 2002).
5.3 Ряд Лапласа
Займемся рядом Лапласа (5.9), описывающим потенциал вне
объемлющей сферы. Все свойства ряда (5.6) аналогичны, и мы
не будем их явно формулировать.
63
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
