Составители:
Рубрика:
К.В.Холшевников установили оценку (5.59) и доказали оптималь-
ность константы B = 1/2 в классе оценок
|P
n
(cos θ)|
√
sin θ <
s
2
π(n + B)
.
Укажем еще оценку интеграла
x
Z
−1
P
n
(t) dt
<
s
2
πn
2
(n + 3/2)
. (5.61)
Согласно равенству (5.22) отсюда следует
|P
n+1
(x) − P
n−1
(x)| <
r
8
πn
. (5.62)
5.2.10 Трудности вычисления многочленов
Лежандра
Многочлены Лежандра ограничены в основном промежутке
единицей, но их коэффициенты быстро растут. Это может приве-
сти к неприемлемой потере точности при вычислениях. Исследуем
этот вопрос количественно.
Мерой потери выберем сумму модулей коэффициентов (5.32)
q
n
=
bn/2c
X
k=0
p
nk
. (5.63)
Согласно формуле (5.31)
P
n
(i) = q
n
i
n
, (5.64)
где i — мнимая единица. Подставив x = i в соотношение (5.11),
получим производящую функцию последовательности {q
n
}:
1
√
1 −2iz + z
2
=
∞
X
n=0
q
n
(iz)
n
. (5.65)
Разложим подкоренное выражение на множители:
1 −2iz + z
2
= (1 − qzi)(1 + q
−1
zi),
58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
