Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Сопоставление (5.50) и (5.51) показывает, что
f
n
(Q
0
) =
2n + 1
4π
Z
f
n
(Q)P
n
(cos θ) dσ .
Эта формула легко обобщается на произвольную точку Q
0
∈ S
0
.
Достаточно повернуть оси координат так, чтобы новая ось Z про-
ходила через Q
0
. Угол θ переходит в H, поэтому
f
n
(Q
0
) =
2n + 1
4π
Z
f
n
(Q)P
n
(cos H) dσ . (5.52)
Можно сказать, что P
n
(cos H) играет роль δ-функции Дирака в
пространстве сферических функций.
Теперь мы подготовлены к представлению P
n
(cos H) через эле-
ментарные сферические функции. Согласно равенству (5.2)
cos H = cos θ cos θ
0
+ sin θ sin θ
0
cos(λ − λ
0
). (5.53)
Так как P
n
— многочлен степени n от cos H, его можно представить
с учетом (5.53) многочленом Фурье по косинусам разности долгот
P
n
(cos H) =
n
X
k=0
Φ
nk
(θ, θ
0
) cos k(λ − λ
0
). (5.54)
Иногда более удобна запись
P
n
(cos H) =
n
X
k=0
[Φ
nk
(θ, θ
0
) cos kλ
0
cos kλ + Φ
nk
(θ, θ
0
) sin kλ
0
sin kλ] .
(5.55)
Поскольку P
n
(cos H) — сферическая функция, для нее справед-
ливо представление (5.46), что в сравнении с (5.55) показывает
Φ
nk
(θ, θ
0
) = CP
k
n
(cos θ). Величина C не зависит от θ, но может
зависеть от θ
0
. Формула (5.53) обнаруживает симметрию θ и θ
0
,
так что C = α
nk
P
k
n
(cos θ
0
) с некоторым числовым коэффициентом
α
nk
.
Полученную формулу
P
n
(cos H) =
n
X
k=0
α
nk
P
k
n
(cos θ)P
k
n
(cos θ
0
) cos k(λ − λ
0
) (5.56)
56

Страницы