Составители:
Рубрика:
Интегрируя по частям при k > 0, находим
H
k
nm
=−
1
Z
−1
P
(k−1)
m
(x)
d
dx
h
(1 −x
2
)
k
P
(k)
n
(x)
i
dx = (n+k)(n+1−k)H
k−1
nm
,
где в конце использован результат задачи 5.10. Отсюда
H
k
nm
=
(n + k)!
(n − k)!
H
0
nm
.
Подставляя вместо H
0
nm
правые части равенств (5.34), (5.35), по-
лучаем соответственно
1
Z
−1
P
k
n
(x)P
k
m
(x)dx = 0, n 6= m, (5.41)
1
Z
−1
P
k
n
(x)
2
dx =
2
2n + 1
(n + k)!
(n − k)!
. (5.42)
Рекуррентности для присоединенных функций Лежандра
можно получить по той же схеме, что и для многочленов Лежандра.
Приведем несколько нужных в дальнейшем соотношений, доказа-
тельства которых составят предмет нескольких задач этой главы:
P
k+1
n
(x) = xP
k+1
n−1
(x) + (n + k)
p
1 −x
2
P
k
n−1
(x), (5.43)
(n −k + 1)P
k−1
n
(x) = (n + k −1)xP
k−1
n−1
(x) −
p
1 −x
2
P
k
n−1
(x), (5.44)
P
k+1
n
(x) = 2k
x
√
1 −x
2
P
k
n
(x) − (n − k + 1)(n + k)P
k−1
n
(x). (5.45)
Линейная независимость гармоник (5.36) очевидна, число их
равно размерности пространства сферических функций порядка
n. Поэтому произвольная сферическая функция f
n
представляется
линейной комбинацией элементарных:
f
n
(Q) =
2n+1
X
s=1
c
s
Y
ns
(Q). (5.46)
54
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
