Составители:
Рубрика:
Итак, P
n
(x) имеет ровно n различных корней x
n1
, x
n2
, . . . , x
nn
,
и все они расположены в интервале (−1, 1).
Примем во внимание свойство четности многочлена P
n
.
Если n четно, то P
n
имеет n/2 положительных корней и n/2
равных им по модулю отрицательных.
Если n нечетно, то P
n
имеет (n − 1)/2 положительных корней,
(n − 1)/2 равных им по модулю отрицательных корней и корень
x = 0.
5.2.8 Элементарные сферические функции
и теорема сложения
Вспомним, что в разделе 5.1 мы сделали только один шаг к
цели, отделив расстояния от направлений. Для отделения широт от
долгот необходимо исследовать пространство сферических функ-
ций фиксированного порядка n. В разделе 5.1.1 установлено, что
каждая функция из этого пространства представляет собой одно-
родный многочлен степени n, деленный на r
n
. В сферических ко-
ординатах это тригонометрический многочлен от θ, λ степени не
выше n по каждой из переменных. Базис пространства содержит
2n + 1 элементов. Логично поэтому искать элементарные сфериче-
ские функции Y
ns
(Q), 1 6 s 6 2n + 1, в виде
Y
n,2k
(Q) =
˜
P
k
n
(cos θ) sin kλ, Y
n,2k+1
(Q) = P
k
n
(cos θ) cos kλ, (5.36)
где
˜
P
k
n
, P
k
n
— многочлены от cos θ, sin θ =
√
1 −cos
2
θ степени не вы-
ше n. Индекс k изменяется от 0 до n, гармоника Y
n0
тождественно
равна нулю, так что имеется 2n + 1 функций вида (5.36). В этом
разделе точку на единичной сфере S
0
будем обозначать буквой Q.
Применяя к Y
n,2k+1
оператор Бельтрами, получаем для P
k
n
ли-
нейное дифференциальное уравнение второго порядка
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
P
k
n
(cos θ)
+
n(n + 1) −
k
2
sin
2
θ
P
k
n
(cos θ) = 0,
(5.37)
или после перехода к x = cos θ
d
dx
(1 −x
2
)
d
dx
P
k
n
(x)
+
n(n + 1) −
k
2
1 −x
2
P
k
n
(x) = 0. (5.38)
Это уравнение обобщает (5.26), совпадая с ним при k = 0.
52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
