Составители:
Рубрика:
Нужное нам решение (5.37) есть тригонометрический многочлен
от косинусов и синусов θ. Из-за сингулярности уравнения (5.37) при
sin θ = 0 второе линейно-независимое решение имеет особенности,
так что P
k
n
определяются дифференциальным уравнением с точно-
стью до постоянного множителя, см. (Гобсон, 1952) и (Бейтмен,
Эрдейи, 1973).
Применяя оператор Бельтрами к Y
n,2k
, получаем для
˜
P
k
n
то же
уравнение (5.38), так что
˜
P
k
n
отличается от P
k
n
несущественным
постоянным множителем. Не умаляя общности, считаем в даль-
нейшем
˜
P
k
n
= P
k
n
.
Величины P
k
n
(x), называемые присоединенными функциями Ле-
жандра, легко выражаются через многочлены Лежандра. Пусть
y(x) = (1 − x
2
)
k/2
P
(k)
n
(x),
где верхний индекс в скобках означает k-ю производную по x. Как
следует из задач 5.9, 5.18, величина y удовлетворяет уравнению
(1 − x
2
)
d
2
y
dx
2
−2x
dy
dx
+
n(n + 1) −
k
2
1 −x
2
y = 0, (5.39)
совпадающему с (5.38). Поскольку y(cos θ) — тригонометрический
многочлен степени n от cos θ и sin θ, можно положить
P
k
n
(x) = (1 − x
2
)
k
2
d
k
P
n
(x)
dx
k
=
(1 −x
2
)
k
2
(2n)!!
d
n+k
dx
n+k
[(x
2
−1)
n
]. (5.40)
При k = 0 присоединенная функция Лежандра P
k
n
(x) стано-
вится просто многочленом Лежандра P
n
(x).
Замечание. В астрономии по рекомендации Международного
астрономического союза пользуются нормировкой (5.40). В физике
нередко встречается определение P
k
n
, совпадающее с (5.40) с точ-
ностью до множителя (−1)
k
. При работе со справочниками надо
обращать внимание, какая нормировка там используется.
Докажем, что присоединенные функции Лежандра P
k
n
(x),
P
k
m
(x) одного индекса k ортогональны между собой на основном
промежутке [−1, 1]. Пусть
H
k
nm
=
1
Z
−1
P
k
n
(x)P
k
m
(x) dx =
1
Z
−1
(1 −x
2
)
k
P
(k)
n
(x)P
(k)
m
(x) dx.
53
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
