Составители:
Рубрика:
Если k > n, сделаем еще шаг и увидим под интегралом функцию
y
(2n+1)
n
≡ 0. Согласно соотношению (5.30) функции y
(k)
k
, y
(n)
n
лишь
постоянными множителями отличаются от P
k
, P
n
.
Мы доказали ортогональность многочленов Лежандра в основ-
ном промежутке [−1, 1]:
1
Z
−1
P
k
(x)P
n
(x)dx = 0, если k 6= n. (5.34)
Если k = n, то тождество (5.33) принимает форму
1
Z
−1
[y
(n)
n
(x)]
2
dx = (−1)
n
1
Z
−1
(x
2
−1)
n
y
(2n)
n
(x)dx.
Поскольку старший член y
n
равен x
2n
, то y
(2n)
n
(x) = (2n)!, поэтому
1
Z
−1
[y
(n)
n
(x)]
2
dx = (2n)!
1
Z
−1
(1 −x
2
)
n
dx.
Последний интеграл вычислен в задаче 5.8. С учетом множителя
в формуле Родрига (5.30) получаем окончательную нормировку
1
Z
−1
[P
n
(x)]
2
dx =
2
2n + 1
. (5.35)
5.2.7 Корни
Пусть f(x) = (x
2
− 1)
n
, n > 1. Обращение f в нуль на концах
основного промежутка [−1, 1] влечет по теореме Ролля существова-
ние корня x
11
производной f
0
, −1 < x
11
< 1. При n > 2 производная
f
0
по-прежнему обращается в нуль в точках x = ±1. Применяя те-
орему Ролля к промежуткам [−1, x
11
] и [x
11
, 1], убеждаемся, что
f
00
имеет два корня x
21
, x
22
, причем −1 < x
21
< x
11
< x
22
< 1.
Продолжая процесс, приходим к выводу, что f
(n)
имеет n различ-
ных корней внутри промежутка (−1, 1). Так как f
(n)
— многочлен
степени n, то других корней нет.
51
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
