Составители:
Рубрика:
5.2.4 Дифференциальное уравнение
Сферическая функция P
n
(cos H) удовлетворяет уравнению (5.5)
∆
∗
P
n
(cos H) = −n(n + 1)P
n
(cos H)
при любых значениях θ
0
, λ
0
. Полагая в формуле (5.2) θ
0
= 0, по-
лучаем cos H = cos θ. Зависимость от λ исчезла, поэтому оператор
Бельтрами редуцируется к дифференцированию по θ, и мы при-
ходим к обыкновенному дифференциальному уравнению второго
порядка, линейному и однородному:
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
P
n
(cos θ)
+ n(n + 1)P
n
(cos θ) = 0. (5.25)
Переходя к переменной x = cos θ, получаем (см. задачу 3.22)
d
dx
(1 −x
2
)
d
dx
P
n
(x)
+ n(n + 1)P
n
(x) = 0, (5.26)
или, что то же:
(1 − x
2
)P
00
n
−2xP
0
n
+ n(n + 1)P
n
= 0. (5.27)
Точки x = ±1 являются особыми, так что из двух линейно-неза-
висимых решений лишь одно представляет собой многочлен, см.
(Гобсон, 1952) и (Бейтмен, Эрдейи, 1973). Тем самым уравнение
(5.27) определяет P
n
с точностью до постоянного множителя.
Последний практически всегда фиксируется условием (5.14) или
(5.23). Можно привлечь также (5.17) при четном и (5.24) при
нечетном n.
5.2.5 Формула Родрига
Продифференцируем функцию y = (x
2
−1)
n
и убедимся в спра-
ведливости соотношения
(x
2
−1)y
0
−2nxy = 0. (5.28)
Вычислим производную порядка n + 1 от обеих частей (5.28),
пользуясь правилом Лейбница. После приведения подобных
(x
2
−1)y
(n+2)
+ 2xy
(n+1)
−n(n + 1)y
(n)
= 0. (5.29)
49
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
