Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

5.2.3 Производные
Дифференцируя соотношение (5.11) по x, придем к производя-
щей функции для производных от многочленов Лежандра
z
(1 −2zx + z
2
)
3/2
=
∞
X
n=1
P
0
n
(x)z
n
. (5.18)
Домножим обе части на (1 −2zx + z
2
)/z и представим левую часть
рядом (5.11):
∞
X
k=0
P
k
(x)z
k
= (1 −2zx + z
2
)
∞
X
k=1
P
0
k
(x)z
k−1
.
Приравнивая коэффициенты при z
n
, приходим к рекуррентности
P
0
n+1
= P
n
+ 2xP
0
n
−P
0
n−1
, n > 1. (5.19)
Используя (5.12) (см. задачу 5.2), получаем
xP
0
n
= nP
n
+ P
0
n−1
= −(n + 1)P
n
+ P
0
n+1
. (5.20)
Подставляя выражение (5.20) в соотношение (5.19), находим
P
0
n+1
−P
0
n−1
= (2n + 1)P
n
. (5.21)
Формула (5.21) полезна возможностью рекуррентно находить не
только производные, но и интегралы
(2n + 1)
x
Z
−1
P
n
(x
0
) dx
0
= P
n+1
(x) − P
n−1
(x). (5.22)
При определении постоянной интегрирования учтено соотношение
(5.15). Частные значения производных в точках 0, ±1 можно полу-
чить по уже использованной схеме, опираясь на ряд (5.18):
P
0
n
(1) =
n(n + 1)
2
, P
0
n
(−1) = (−1)
n+1
n(n + 1)
2
, (5.23)
P
0
n
(0) =
(
(−1)
n−1
2
n!!
(n−1)!!
, если n нечетно,
0, если n четно.
(5.24)
48

Страницы