Притяжение небесных тел. Холшевников К.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Мы опять встретились с производящей функцией многочленов Ле-
жандра, так что
W =
∞
X
n=0
r
0
n
r
n+1
P
n
(cos H). (5.8)
Представление потенциала V при r > R
+
принимает вид
V (Q) = GM
∞
X
n=0
R
n
r
n+1
Y
n
(
e
Q), (5.9)
где
Y
n
(
e
Q) =
1
MR
n
Z
T
r
0
n+2
sin θ
0
P
n
(cos H)%(Q
0
)dr
0
dθ
0
dλ
0
. (5.10)
Гармоническая функция вида r
−n−1
f(
e
Q), где f — деленный на
r
n
однородный многочлен степени n, называется шаровой функцией
второго рода. Заметим, что f по-прежнему удовлетворяет (5.5).
Таким образом, если r
−n−1
f(
e
Q) — шаровая функция второго рода,
то r
n
f(
e
Q) — шаровая функция первого рода и обратно, причем f в
обоих случаях будет сферической функцией порядка n. Ряд (5.9)
также называют рядом Лапласа.
Прежде чем двигаться дальше, необходимо тщательно изучить
свойства многочленов Лежандра, стоящих под знаком интеграла
(5.7) и интеграла (5.10).
5.2 Свойства многочленов Лежандра
5.2.1 Рекуррентность
Перепишем определяющее соотношение (5.3):
1
√
1 −2zx + z
2
=
∞
X
n=0
P
n
(x)z
n
, (5.11)
где ряд справа сходится при всех x ∈ [−1, 1] для достаточно малых
z. Значение радиуса сходимости найдем ниже, раздел 5.2.11. Про-
дифференцируем (5.11) по z и домножим результат на 1 −2zx + z
2
:
x −z
√
1 −2zx + z
2
= (1 −2zx + z
2
)
∞
X
k=1
kP
k
(x)z
k−1
.
46

Страницы