Составители:
Рубрика:
где Q
n
— многочлены от x и z, причем ведущий член по первой
переменной равен (2n −1)!! x
n
. Подставляя z = 0, установим поли-
номиальность P
n
.
Вернемся к функции W и старым обозначениям:
W =
∞
X
n=0
r
n
r
0
n+1
P
n
(cos H). (5.4)
Мы выполнили первый шаг: представили W суммой гармо-
нических слагаемых, каждое из которых есть функция только
от r, помноженная на функцию только от
e
Q. Зависимость
от r чрезвычайно проста. Зависимость от
e
Q тоже несложна.
По установленному свойству многочленов Лежандра общий член
ряда (5.4) представляет собой линейную комбинацию слагаемых
вида r
n
(cos H)
n−2k
, т. е. согласно соотношению (5.2) является одно-
родным многочленом степени n относительно декартовых коорди-
нат точки Q, которые в этой главе мы будем обозначать большими
буквами X, Y, Z.
Гармонический многочлен r
n
f
n
(
e
Q) называют часто шаровой
функцией первого рода порядка n, а ее угловую часть f
n
(
e
Q) — сфе-
рической функцией порядка n. Легко показать (см. задачу 3.21),
что
∆
∗
f
n
= −n(n + 1)f
n
, (5.5)
так что сферические функции являются собственными функциями
оператора Бельтрами.
Пространство шаровых (а тем самым и сферических) функций
порядка n линейно и имеет размерность 2n + 1. Действительно,
представим однородный многочлен в виде
F (X, Y, Z) =
n
X
k=0
Z
k
f
n−k
(X, Y ),
где f
n−k
— однородный многочлен указанной степени от двух пере-
менных. Действие лапласиана на многочлен F представим в форме
∆F =
n
X
k=0
[∆f
n−k
+ (k + 1)(k + 2)f
n−k−2
] Z
k
,
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
