Составители:
Рубрика:
где принято f
−1
= f
−2
= 0. Гармоничность F влечет цепочку ра-
венств
1 ·2f
n−2
= −∆f
n
,
2 ·3f
n−3
= −∆f
n−1
,
. . . . . .
(n − 2)(n − 1)f
1
= −∆f
3
,
(n −1)nf
0
= −∆f
2
.
Отсюда следует, что многочлены f
n
и f
n−1
, содержащие 2n + 1
коэффициентов, произвольны, а остальные определяются по ним
однозначно.
Подставим выражение (5.4) в формулу (2.2), записывая элемент
массы в виде dm
0
= %(r
0
, θ
0
, λ
0
)r
0
2
sin θ
0
dr
0
dθ
0
dλ
0
:
V (Q) = GM
∞
X
n=0
r
n
R
n+1
Y
n
(
e
Q). (5.6)
Здесь произвольный масштабный множитель R и масса M тела T
введены для того, чтобы сделать функцию
Y
n
(
e
Q) =
R
n+1
M
Z
T
%(Q
0
) sin θ
0
r
0
n−1
P
n
(cos H)dr
0
dθ
0
dλ
0
(5.7)
безразмерной. Обратим внимание, что мы воспользовались почлен-
ным интегрированием ряда (5.4), что допустимо в силу доказыва-
емой ниже в разделе 5.2.11 его локально–равномерной внутри пу-
стой сферы сходимости, а также вынесли множитель r
n
за знак
интеграла как не зависящий от Q
0
. Интегрирование по параметрам
r
0
, θ
0
, λ
0
не нарушает гармоничности (задача 3.6). Поэтому общий
член ряда (5.6), называемого часто рядом Лапласа, есть шаровая
функция, а формула (5.7) задает сферическую функцию.
5.1.2 Отделение радиуса в области r > R
+
Вне объемлющей сферы r
0
< r и функцию W можно разложить
в ряд Маклорена по r
0
, сходящийся при достаточно малых r
0
. Об-
щий член ряда с точностью до множителя r
0
n
/n! есть производная
от W по r
0
порядка n при r
0
= 0 и согласно задаче 3.5 представляет
собой гармоническую функцию. Найдем ее явный вид. Положим
временно z = r
0
/r, x = cos H. Тогда
W =
1
r
√
1 −2zx + z
2
, −1 6 x 6 1, 0 6 z < 1.
45
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
