Составители:
Рубрика:
В левой части стоит производящая функция, так что
(x −z)
∞
X
k=0
P
k
(x)z
k
= (1 −2zx + z
2
)
∞
X
k=1
kP
k
(x)z
k−1
.
Приравняем коэффициенты при z
n
для n > 1:
xP
n
−P
n−1
= (n + 1)P
n+1
+ (n − 1)P
n−1
−2xnP
n
,
откуда
(n + 1)P
n+1
= (2n + 1)xP
n
−nP
n−1
, n > 0. (5.12)
Эта рекуррентность справедлива и при n = 0, что проверяется под-
становкой значений P
0
= 1, P
1
= x (см. задачу 5.1), если наложить
естественное условие 0 · P
−1
= 0.
Равенство (5.12) вновь показывает, что P
n
— многочлен степени
ровно n, причем четный при четных n и нечетный при нечетных n.
5.2.2 Частные значения
При x = 1 производящая функция упрощается
1
1 − z
=
∞
X
n=0
z
n
. (5.13)
Сравнивая выражения (5.11) и (5.13), находим
P
n
(1) = 1. (5.14)
Аналогичные рассуждения для x = −1 показывают, что
P
n
(−1) = (−1)
n
. (5.15)
При x = 0 слева в (5.11) по-прежнему степень бинома
1
√
1 + z
2
=
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k − 1)!!
(2k)!!
z
2k
, (5.16)
где принято (−1)!! = 0!! = 1. Сравнивая (5.11), (5.16), находим
P
n
(0) =
(
0, если n нечетно,
(−1)
n/2
h
(n−1)!!
n!!
i
, если n четно.
(5.17)
47
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
