Составители:
Рубрика:
Для точек Q, лежащих внутри сферы S
−
, по определению r <
R
−
, тогда как вне сферы S
+
будет r > R
+
, где R
−
и R
+
— радиусы
S
−
и S
+
соответственно (см. рис. 4). Для пробегающих тело T
точек Q
0
всегда R
−
6 r
0
6 R
+
.
5.1.1 Отделение радиуса в области r < R
−
Внутри пустой сферы r < r
0
и функцию W можно разложить
в ряд Маклорена по r, сходящийся при достаточно малых r. Как
и W , общий член ряда будет гармонической функцией. Действи-
тельно, сделаем подстановку r
0
= 1/ξ и представим (5.1) в форме
r
0
W =
1
p
1 −2(ξr) cos H + (ξr)
2
.
Очевидно, что разложения правой части в ряд Маклорена по r и
ξ совпадают. Коэффициенты могут быть получены дифференци-
рованием по параметру ξ, что сохраняет гармоничность согласно
задаче 3.5.
Для фактического нахождения ряда положим временно z =
r/r
0
, x = cos H. Тогда
r
0
W =
1
√
1 −2zx + z
2
, −1 6 x 6 1, 0 6 z < 1.
Разложим функцию r
0
W в ряд по степеням z, обозначая коэффи-
циенты через P
n
(x), именуемые многочленами Лежандра в честь
изучавшего их математика:
1
√
1 −2zx + z
2
=
∞
X
n=0
P
n
(x)z
n
. (5.3)
Можно считать, что равенство (5.3) определяет функции P
n
(x), по-
этому его левая часть называется производящей функцией полино-
мов Лежандра. Их свойствам мы посвятим специальный параграф,
а пока докажем, что P
n
(x) — многочлены степени n, четные при
четных n и нечетные при нечетных n. Свойство четности вытекает
из инвариантности левой части (5.3) относительно одновременной
замены знака у x и z. По индукции легко установить, что
d
n
dz
n
h
(1 −2zx + z
2
)
−
1
2
i
= (1 −2zx + z
2
)
−n−
1
2
Q
n
(x, z),
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
