Составители:
Рубрика:
Сравнивая уравнения (5.27) и (5.29), убеждаемся, что многочлен
y
(n)
отличается от P
n
лишь множителем. Последний легко найти,
применяя правило Лейбница для производной порядка n от y =
(x −1)
n
(x + 1)
n
:
y
(n)
= n!(x + 1)
n
+ (x −1)Q
n−1
(x),
где Q
n−1
— некоторый многочлен указанной степени. Отсюда
y
(n)
(1) = 2
n
n! Сравнение с (5.14) приводит к соотношению
P
n
(x) =
1
2
n
n!
d
n
dx
n
[(x
2
−1)
n
], (5.30)
называемому формулой Родрига.
Соотношение (5.30) позволяет легко найти коэффициенты мно-
гочлена Лежандра
P
n
(x) =
bn/2c
X
k=0
(−1)
k
p
nk
x
n−2k
, (5.31)
p
nk
=
(2n − 2k)!
2
n
k!(n −k)!(n − 2k)!
. (5.32)
Здесь bac — целая часть вещественного числа a.
Для доказательства достаточно записать по формуле бинома
(x
2
−1)
n
=
n
X
k=0
(−1)
k
n
k
x
2n−2k
и воспользоваться (5.30).
5.2.6 Ортогональность
Пусть y
n
= (x
2
−1)
n
. Все производные от y
n
порядка, меньшего
n, обращаются в нуль на концах промежутка [−1, 1]. Вычислим
интеграл от y
(k)
k
y
(n)
n
по частям, считая для определенности k > n.
С учетом отмеченного поведения при x = ±1 получим
1
Z
−1
y
(k)
k
(x)y
(n)
n
(x)dx = −
1
Z
−1
y
(k−1)
k
(x)y
(n+1)
n
(x)dx.
Продолжив процесс, придем к тождеству
1
Z
−1
y
(k)
k
(x)y
(n)
n
(x)dx = (−1)
n
1
Z
−1
y
(k−n)
k
(x)y
(2n)
n
(x)dx. (5.33)
50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
