Составители:
Рубрика:
Ортогональность тригонометрических функций на окружности
влечет ортогональность Y
ns
на единичной сфере при фиксирован-
ном первом индексе. Ортогональность присоединенных функций
Лежандра влечет ортогональность Y
ns
при фиксированном втором
индексе. Таким образом,
Z
Y
ns
(Q)Y
n
0
s
0
(Q) dσ = 0, (5.47)
если n 6= n
0
или s 6= s
0
. Здесь dσ = sin θ dθ dλ — элемент площади
единичной сферы. Символом
R
(·)dσ будем обозначать интеграл по
поверхности единичной сферы.
Интеграл от квадрата определяется формулой (5.42)
Z
[Y
ns
(Q)]
2
dσ = µ
ns
. (5.48)
Здесь при s = 2k + 1, 0 6 k 6 n и при s = 2k, 1 6 k 6 n
µ
ns
=
2π(1 + δ
k0
)
2n + 1
(n + k)!
(n − k)!
,
где δ
k0
— символ Кронекера.
Заметим, что (5.47) влечет ортогональность на единичной сфере
произвольных сферических функций разного порядка
Z
f
n
(Q)f
m
(Q) dσ = 0, n 6= m. (5.49)
Коэффициенты c
s
разложения Фурье (5.46) по ортогональной си-
стеме (5.36) с учетом (5.48) даются стандартной интегральной фор-
мулой
c
s
=
1
µ
ns
Z
f
n
(Q)Y
ns
(Q) dσ . (5.50)
Формулы (5.46), (5.50) позволяют вывести важное интегральное
свойство многочленов Лежандра. Функции (5.36) обращаются в
нуль при sin θ = 0, за исключением Y
n1
, равной P
n
(±1) = (±1)
n
. В
северном полюсе Q
0
(при θ = 0) равенство (5.46) переходит в
c
1
= f
n
(Q
0
). (5.51)
55
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
