Составители:
Рубрика:
называют теоремой сложения для многочленов Лежандра. Она
представляет сферическую функцию слева линейной комбинацией
элементарных сферических функций.
Осталось еще определить постоянные α
nk
. Положим в (5.52)
f
n
(Q) = Y
ns
(Q), s = 2k + 1:
4π
2n + 1
Y
ns
(Q
0
) =
Z
Y
ns
(Q)P
n
(cos H) dσ .
Правая часть согласно формуле (5.56) равна
α
nk
Y
ns
(Q
0
)
Z
[Y
ns
(Q)]
2
dσ = α
nk
µ
ns
Y
ns
(Q
0
),
откуда
α
nk
= (2 − δ
k0
)
(n − k)!
(n + k)!
. (5.57)
5.2.9 Оценки
Из множества оценок выпишем основные. Доказательства
можно найти в книге (Антонов и др., 1988).
Многочлены Лежандра и все их производные достигают наи-
большего значения на правом конце промежутка. В частности, при
x ∈ [−1, 1]
|P
n
(x)| 6 1, |P
0
n
(x)| 6
n(n + 1)
2
. (5.58)
Внутри промежутка многочлены убывают как n
−1/2
. Именно,
|P
n
(cos θ)| <
s
2
π(n +
1
2
) sin θ
, 0 < θ < π. (5.59)
История последнего неравенства длилась сто лет. Сначала
Т.Стилтьес доказал оценку
|P
n
(cos θ)|
√
sin θ <
A
√
n
(5.60)
с неопределенной константой A. Затем С.Н.Бернштейн нашел
оптимальную константу A =
p
2/π. Оптимальность означает,
что при любом A, меньшем, чем
p
2/π, найдется пара n, θ та-
кая, что неравенство (5.60) нарушится. Наконец, В.А.Антонов и
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
