Составители:
Определим компоненты градиента
∂V
∂x
= 2β
arctg
a − y
x
− arctg
b − y
x
,
∂V
∂y
= β ln
x
2
+ (b − y)
2
x
2
+ (a − y)
2
.
(6.13)
Пример 6.4. Круговой цилиндр x
2
+ y
2
= a
2
с постоянной плот-
ностью β.
По симметрии потенциал зависит лишь от расстояния R. Поэто-
му координаты пробной точки Q можно принять равными (R, 0).
По общей формуле (6.6)
V (R) = −aβ
Z
2π
0
ln
a
2
− 2aR cos ϕ
0
+ R
2
dϕ
0
.
Обозначим в этом примере
ξ = max{a, R}, η = min
a
R
,
R
a
,
так что
a
2
− 2aR cos ϕ
0
+ R
2
= ξ
2
1 − 2η cos ϕ
0
+ η
2
.
С учетом (7.5) получаем окончательный результат
−V (R) =
f
M ln ξ
2
=
(
f
M ln a
2
, если R 6 a,
f
M ln R
2
, если R > a.
(6.14)
Таким образом, цилиндр не притягивает внутренние точки (потен-
циал постоянен), а внешние точки притягивает, как прямая (ось
цилиндра) той же приведенной массы.
Пример 6.5. Однородная плоскость поверхностной плотности β.
Пусть T — материальная плоскость z = 0 с постоянной поверх-
ностной плотностью β. Получим потенциал T как предел потенци-
ала прямоугольника при неограниченном увеличении его размеров.
По симметрии V зависит лишь от z. Поэтому достаточно рассмот-
реть потенциал квадрата: прямоугольника из примера (4.1) при
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
