Составители:
По симметрии можно считать z = 0 в пробной точке Q. По об-
щей теории потенциал определяется формулой
V (Q) = V (x, y) =
Z
e
T
β(x
0
, y
0
) ds
∞
Z
−∞
dz
0
p
(x
0
− x)
2
+ (y
0
− y)
2
+ z
02
,
где ds — элемент длины
e
T . Внутренний интеграл представляет со-
бой потенциал однородной прямой единичной линейной плотности,
проходящей через точку Q
0
(x
0
, y
0
, 0) параллельно оси z. Он дается
формулой (6.4) при α = 1 с учетом сдвига в точку Q
0
(рассуждения,
связанные с расходимостью и переходом к разности потенциалов,
опускаем):
V (Q) = V (x, y) = −
Z
e
T
β(x
0
, y
0
) ln
(x
0
− x)
2
+ (y
0
− y)
2
ds. (6.6)
В нескольких рассмотренных ниже примерах установлены сле-
дующие свойства логарифмического потенциала (6.6).
1. Потенциал V (x, y) непрерывен во всем пространстве R
2
.
2. В окрестности гладкого участка
e
T (но, возможно, не грани-
цы
e
T ), на котором плотность β(Q) непрерывна, касательные
производные потенциала непрерывны.
3. В окрестности гладкого участка
e
T (но, возможно, не грани-
цы
e
T ), на котором плотность β(Q) непрерывна, нормальная
производная потенциала терпит скачок
∂V
+
∂n
−
∂V
−
∂n
= −4πβ. (6.7)
4. Внешний потенциал V (x, y) представляет собой функцию,
вещественно-аналитическую в R
2
\ {
e
T }.
5. На бесконечности справедлива асимптотика потенциала
V = −
f
M ln R
2
+ O(R
0
/R) (6.8)
и градиента
w = −2
f
M
R
R
2
+ O
(R
0
/R)
2
. (6.9)
55
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
