Составители:
3. Потенциал сингулярен на бесконечности:
lim V (R) = −∞ при R → ∞.
Физически это означает, что уход на бесконечное расстояние
от притягивающей прямой требует бесконечной работы. Ины-
ми словами, вторая космическая скорость бесконечна. Это
свойство обсуждалось выше.
4. В пространстве R
3
с выколотой осью z потенциал удовлетво-
ряет уравнению Лапласа (1.7) и представляет собой гармони-
ческую функцию.
Для доказательства вычислим последовательно
∂ ln R
∂x
=
x
R
2
,
∂
2
ln R
∂x
2
=
R
2
− 2x
2
R
4
,
∂
2
ln R
∂y
2
=
R
2
− 2y
2
R
4
,
∂
2
ln R
∂z
2
= 0.
Складывая значения вторых производных, убедимся в спра-
ведливости (1.7).
5. Поток W вектора w через цилиндрическую поверхность, охва-
тывающую ось z, равен −∞. В некотором смысле это согла-
суется с формулой Остроградского–Гаусса (1.10), т.к. полная
масса материальной прямой бесконечна. Если ограничиться
плоскостью xy, то получим двумерный аналог (1.10)
f
W =
(
−4πα, если O находится внутри
e
S,
0, если O находится вне
e
S.
(6.5)
Здесь
e
S — замкнутая кривая в плоскости xy,
f
W — поток век-
тора w через кривую
e
S.
Пример 6.2. Цилиндр T с компактной направляющей
e
T , парал-
лельными оси z образующими и поверхностной плотностью β, не
зависящей от z. Предполагаем
e
T кусочно-гладкой, а β — кусочно-
непрерывной.
54
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
