Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. Холшевников К.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3
◦
. Следующую первообразную мы разобьем для облегчения кон-
троля на два слагаемых
Z
ln
a +
p
t
2
+ b
2
dt = F
1
(t) + F
2
(t) (7.3)
при b > |a| > 0. Здесь
F
1
(t) = t ln
a +
p
t
2
+ b
2
+ a ln
t +
p
t
2
+ b
2
− t,
F
2
(t) = 2
p
b
2
− a
2
arctg
t
√
b
2
− a
2
(b + a)
b +
√
t
2
+ b
2
,
так что
F
0
1
(t) = ln
a +
p
t
2
+ b
2
−
b
2
− a
2
a +
√
t
2
+ b
2
√
t
2
+ b
2
,
F
0
2
(t) =
b
2
− a
2
a +
√
t
2
+ b
2
√
t
2
+ b
2
.
Поскольку арктангенс ограничен, можно положить F
2
(t) ≡ 0 при
a = ±b, так что F
2
(t) вещественно-аналитична при всех t. Функция
F
1
(t) вещественно-аналитична при всех t для a 6= −b. Если a = −b,
то F
1
(t) остается непрерывной при всех t, хотя ее производная раз-
рывна в нуле:
F
0
1
(t) ∼ ln
t
2
2b
при t → 0.
4
◦
. Следующий определенный интеграл найден в (Фихтенгольц,
1997а, пп. 314, 492)
Z
π
0
ln
1 − 2c cos θ + c
2
dθ =
(
0, если |c| 6 1,
π ln c
2
, если |c| > 1.
(7.4)
5
◦
. Формулу (7.4) можно обобщить
Z
π
0
ln
a
2
− 2ab cos θ + b
2
dθ = π ln ξ
2
. (7.5)
Здесь a, b — вещественные числа, по крайней мере одно из которых
отлично от нуля;
ξ = max{|a|, |b|}.
61

Страницы