Составители:
6
◦
. Пусть k — произвольное число из промежутка 0 6 k < 1. Ниже-
следующая формула определяет эллиптический интеграл первого
рода F (ϕ, k) в форме Якоби:
F (ϕ, k) =
Z
ϕ
0
dt
√
1 − k
2
sin
2
t
. (7.6)
7
◦
. При ϕ = π/2 интеграл (7.6) называется полным эллипти-
ческим интегралом первого рода в форме Якоби и обозначается
K(k) = F (π/2, k). По симметрии
K(k) =
Z
π/2
0
dt
√
1 − k
2
sin
2
t
=
=
1
2
Z
π
0
dt
√
1 − k
2
sin
2
t
=
1
4
Z
2π
0
dt
√
1 − k
2
sin
2
t
. (7.7)
8
◦
. Покажем, что интеграл
J =
Z
π
0
dt
p
(a cos t −b)
2
+ c
2
(7.8)
при c 6= 0 сводится к полному эллиптическому интегралу первого
рода. Для симметризации применим преобразование, переводящее
отрезок [0, π] в себя
cos t =
cos ϕ + γ
1 + γ cos ϕ
, sin t =
p
1 − γ
2
sin ϕ
1 + γ cos ϕ
,
dt
dϕ
=
p
1 − γ
2
1 + γ cos ϕ
, (7.9)
где параметр γ подчинен условию |γ| < 1. Подстановка (7.9) из-
вестна в небесной механике как связь истинной и эксцентрической
аномалии (Субботин, 1968).
Приходим к формуле
J = B
Z
π
0
dϕ
p
B
1
+ 2B
2
cos ϕ + B
3
cos
2
ϕ
(7.10)
при
B =
p
1 − γ
2
, B
1
= (b − aγ)
2
+ c
2
,
B
2
= (b − aγ)(bγ − a) + c
2
γ, B
3
= (bγ − a)
2
+ c
2
γ
2
.
62
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
