Задача двух тел. Холшевников К.В - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Ряды по степеням эксцентриситета
Из всех орбит самой простой является круговая — голубая меч-
та многих древнегреческих философов. В Солнечной системе боль-
шие планеты, регулярные спутники планет, существенная часть
малых планет, большинство искусственных спутников Земли име-
ют небольшие эксцентриситеты орбит. Среди внесолнечных планет,
двойных и кратных звезд небольшие эксцентриситеты тоже типич-
ны. По этим причинам представляется вполне естественным изу-
чить явное представление основных функций небесной механики в
виде рядов по степеням эксцентриситета.
Можно обобщить задачу, исследуя орбиты в окрестности про-
извольного значения e
0
. Однако на этом пути не удалось получить
сколько-нибудь значительных результатов, поскольку отвечающая
значению e
0
орбита ничуть не проще соседних. Есть лишь два ис-
ключения: e
0
= 0 и e
0
= 1. Разложения в окрестности e
0
= 1 мы
уже рассматривали в § 1.5. После Эйлера эта тема существенно не
продвинута.
Далее мы займемся случаем e
0
= 0, где классиками получено
множество результатов.
Обратим внимание, что задача разложить данную физическую
величину по степеням эксцентриситета является недоопределен-
ной. Мы имеем более десятка связанных между собой элементов
орбиты и надо выбрать из них пять независимых, не считая экс-
центриситета. Разный выбор дает разные результаты. В качестве
отвечающих за ориентацию элементов всегда будем брать i, Ω, g.
Соответствующий размеру орбиты элемент обычно — большая по-
луось a, но иногда удобнее параметр p. Наконец, надо выбрать одну
из аномалий θ,
˜
θ, E, M . Иногда используют и более сложный набор
элементов.
На простейших примерах видно, что одна и та же величина в
разных системах независимых элементов имеет разные ряды Ма-
клорена по эксцентриситету. Скажем, r
−1
есть бесконечный ряд в
системе e, a, θ и линейная функция эксцентриситета в системе e, p,
θ. В системе e, a, E радиус линейно зависит от эксцентриситета и
представляется бесконечным рядом в системе e, a, θ.
Как в системе с фиксированным a, так и с фиксированным p де-
картовы координаты и радиус в эллиптическом движении являются
многочленами относительно e,
√
1 − e
2
, 1/
√
1 − e
2
, cos E, sin E в лю-
93

Страницы