Составители:
Подставляя Dr, Dv из (3.11), приходим к соотношению
D
k+1
r = (DF
k
)r + F
k
v + (DG
k
)v + G
k
(−κ
2
r
−3
r).
Сравнение со вторым из равенств (3.12) приводит к искомым ре-
куррентностям
F
k+1
= DF
k
− κ
2
r
−3
G
k
, G
k+1
= F
k
+ DG
k
. (3.16)
Последовательное вычисление F
k
, G
k
можно значительно облег-
чить, если перейти от r, ˙r, v
2
к эквивалентной тройке
ξ = κ
2/3
r
−1
, η = κ
−4/3
r ˙r, ζ = κ
−4/3
˙
r
2
− 2κ
2/3
r
−1
= 2κ
−4/3
h.
(3.17)
Полезно знать физическую размерность введенных величин: с
−2/3
,
с
1/3
и с
−2/3
для ξ, η, ζ соответственно. Прямое дифференцирование
дает
Dξ = −ξ
3
η, Dη = ξ + ζ, Dζ = 0.
Отсюда следует, что для произвольной дифференцируемой функ-
ции g(ξ, η, ζ) ее производная вдоль траектории
Dg = −ξ
3
η
∂g
∂ξ
+ (ξ + ζ)
∂g
∂η
(3.18)
также зависит только от ξ, η, ζ.
Считая F
k
, G
k
функциями от ξ, η, ζ, преобразуем (3.16) к виду,
пригодному для практических вычислений:
F
k+1
=−ξ
3
G
k
−ξ
3
η
∂F
k
∂ξ
+(ξ+ζ)
∂F
k
∂η
, G
k+1
=F
k
−ξ
3
η
∂G
k
∂ξ
+(ξ+ζ)
∂G
k
∂η
.
(3.19)
Выпишем первые члены последовательности F
k
, G
k
:
F
0
= 1, G
0
= 0,
F
1
= 0, G
1
= 1,
F
2
= −ξ
3
, G
2
= 0,
F
3
= 3ξ
5
η, G
3
= −ξ
3
,
F
4
= 4ξ
6
− 15ξ
7
η
2
+ 3ξ
5
ζ, G
4
= 6ξ
5
η,
F
5
= −60ξ
8
η + 105ξ
9
η
3
− 45ξ
7
ηζ, G
5
= 10ξ
6
− 45ξ
7
η
2
+ 9ξ
5
ζ.
Как видим, начальные коффициенты постоянны, затем последова-
тельно появляется зависимость от ξ, η, ζ. От всех трех аргументов
F
k
зависят при k > 4, а G
k
— при k > 5.
92
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
