Составители:
В автономном случае, когда обе функции f , g не зависят от вре-
мени, в определении оператора D можно опустить дифференциро-
вание по t:
D = f(x)
∂
∂x
=
N
X
i=1
f
i
(x)
∂
∂x
i
(3.8)
(см. задачу 3.2).
3.2. Ряды по степеням времени
в кеплеровском движении
Мы получили решение в задаче одного притягивающего центра
не без некоторых усилий. Теперь мы хотим представить решение
рядом по степеням времени. Удивительно, но проще найти требу-
емое разложение, используя только уравнение (1.1), как будто мы
не знаем его решений! А вот для определения области сходимости
знание решения будет весьма полезным. Но вопросы сходимости
мы рассмотрим в последнем параграфе этой главы.
Запишем уравнение (1.1) в виде (3.1), где x — фазовый шести-
мерный вектор, или, что то же, положение и скорость x = (r,
˙
r) =
(r, v). Его производная
˙
x = (
˙
r,
¨
r) в силу (1.1) равна (
˙
r, −κ
2
r
−3
r).
Мы пришли к уравнению (3.1) при
f = (v, −κ
2
r
−3
r). (3.9)
Вектор f не зависит от времени. Имея дело в дальнейшем лишь с не
зависящими явно от времени величинами g(x), мы можем восполь-
зоваться формулой (3.8) и получить для оператора D выражение
D = v
∂
∂r
−
κ
2
r
3
r
∂
∂v
=
3
X
i=1
˙x
i
∂
∂x
i
−
κ
2
r
3
x
i
∂
∂ ˙x
i
. (3.10)
В этом параграфе компоненты вектора r нам удобнее обозначать
x
1
, x
2
, x
3
, а не x, y, z.
Вычислим действие D на фазовый вектор x = (r, v):
Dr = v, D
2
r = Dv = −κ
2
r
−3
r. (3.11)
По правилу Лейбница (см. задачу 3.3) дальнейшие степени D
3
r,
D
4
r, . . . являются линейными комбинациями векторов r, v с ко-
эффициентами, зависящими от r, Dr, D
2
r, . . . или, что то же, от
90
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
