Составители:
3.1. Ряды Ли
Начнем с наиболее универсального средства — рядов по степе-
ням времени для решения нормальной системы дифференциальных
уравнений общего вида
˙
x = f(t, x). (3.1)
Здесь x = (x
1
, . . . , x
N
) — вектор фазовых переменных, t — время
(скаляр). Система задана в некоторой области G ⊂ R
N+1
расши-
ренного фазового пространства, где функция f = (f
1
, . . . , f
N
) пред-
полагается вещественно-аналитической.
Для компактной записи используем следующую систему обозна-
чений. Начальную эпоху обозначим t, а текущее время
˜
t = t + τ.
Соответственно, текущее значение зависимых переменных обозна-
чим x(t + τ), а начальное x(t). Аргумент t часто будем опускать, но
аргумент t + τ всегда будем писать явно. Важно, что t и x(t) счита-
ются переменными величинами, по которым, в частности, возмож-
но дифференцирование. Это значит, что мы рассматриваем не одну
фиксированную траекторию, а трубку траекторий. В силу линей-
ной зависимости
˜
t = t + τ производные по
˜
t, t и τ совпадают.
По теореме Коши произвольное решение (3.1) может быть пред-
ставлено рядом Маклорена по степеням τ:
x(t + τ ) =
∞
X
k=0
τ
k
k!
x
(k)
(t), (3.2)
сходящимся для каждой пары (t, x(t)) при достаточно малом τ.
Более того, так может быть представлено поведение произвольной
аналитической функции g(t, x) вдоль решения системы (3.1):
g(t + τ, x(t + τ )) =
∞
X
k=0
τ
k
k!
D
k
g(t, x). (3.3)
Здесь D — оператор дифференцирования вдоль траекторий систе-
мы (3.1):
D =
∂
∂t
+ f
∂
∂x
=
∂
∂t
+
N
X
i=1
f
i
∂
∂x
i
. (3.4)
Степени оператора, начиная со второй, определяются по индук-
ции D
k+1
= D(D
k
). Нулевая степень есть тождественный опера-
88
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
