Составители:
тор D
0
g = g, что иногда записывают в виде D
0
= 1, если это не
приводит к путанице.
Для доказательства формулы (3.3) вычисляем сначала первые
члены:
g(t + τ, x(t + τ))|
τ=0
= g(t, x(t)) = D
0
g(t, x),
dg(t + τ, x(t + τ ))
dτ
τ=0
=
dg(t, x(t))
dt
=
∂g
∂t
+
˙
x
∂g
∂x
= Dg,
и далее убеждаемся, что коэффициент при τ
k
/k! в формуле (3.3)
действительно равен D
k
g.
Функция g в соотношении (3.3) может быть не только скаляр-
ной, но и векторной, матричной, тензорной — вообще g может быть
злементом любого линейного пространства. Оператор D отобра-
жает g в то же пространство. Иными словами, для скалярной,
векторной, матричной функции g функция Dg будет соответствен-
но скалярной, векторной, матричной. В частности, для g(t, x) = x
формула (3.3) переходит в
x(t + τ) =
∞
X
k=0
τ
k
k!
D
k
x(t), (3.5)
что совпадает с (3.2). Поскольку
Dx = f , (3.6)
то в (3.5) можно снизить степень оператора на единицу:
x(t + τ) = x +
∞
X
k=1
τ
k
k!
D
k−1
f(t, x). (3.7)
Представляющие решение уравнения (3.1) и любую функцию
вдоль решения ряды (3.7) и (3.3) называются рядами Ли по имени
тщательно изучившего их свойства норвежского математика Софу-
са Ли. Конечно, правая часть (3.7) есть ряд Маклорена для x(t+τ).
Но для нас существенно, что общий член рядов (3.3), (3.7) выражен
только через известные функции f и g — предварительного знания
решения уравнения (3.1) не требуется. Поэтому выделение рядов
вида (3.3) в особый класс оправдано.
89
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
