Составители:
r, ˙r, ¨r, . . . Напомним, что D — это оператор дифференцирования
вдоль траектории. По правилам векторного анализа с учетом (1.1)
r
2
= r
2
, r ˙r = r
˙
r, ˙r
2
+ r¨r =
˙
r
2
+ r
¨
r =
˙
r
2
− κ
2
/r.
Скаляры r, ˙r относятся к начальным данным, а ¨r оказалось равным
¨r =
1
r
v
2
− ˙r
2
−
κ
2
r
,
так что ¨r зависит от трех переменных — расстояния r, радиальной
скорости ˙r и квадрата полной скорости v
2
. Производные от r, ˙r и
v
2
легко выразить через эти же величины. Поэтому
D
k
r = F
k
r + G
k
v, D
k
v = D
k+1
r = F
k+1
r + G
k+1
v, (3.12)
где F
k
, G
k
— функции от указанных трех аргументов. Формулы
(3.5), (3.12) обычно представляют в форме
r(t + τ) = F r + Gv, v(t + τ) = F
0
r + G
0
v, (3.13)
где F , G, F
0
, G
0
зависят от тех же трех величин и τ и выражаются
рядами
F =
∞
X
k=0
τ
k
k!
F
k
, G =
∞
X
k=0
τ
k
k!
G
k
, F
0
=
∞
X
k=0
τ
k
k!
F
k+1
, G
0
=
∞
X
k=0
τ
k
k!
G
k+1
.
(3.14)
С точностью до обозначений начальных и текущих векторов по-
ложения и скорости формулы (1.87) и (3.13) совпадают, так что
F, G, F
0
, G
0
представляют одни и те же величины. Здесь мы нахо-
дим их разложения по степеням времени.
Начальные члены последовательностей F
k
, G
k
известны по ли-
нейному приближению r(t + τ) = r +
˙
rτ + . . ., откуда
F
0
= G
1
= 1, F
1
= G
0
= 0. (3.15)
Остальные легко получить по индукции. Для этого применим опе-
ратор D к первому из равенств (3.12) с учетом правила Лейбница
(см. задачу 3.3)
D
k+1
r = (DF
k
)r + F
k
(Dr) + (DG
k
)v + G
k
(Dv).
91
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
